无人机基础

四旋翼无人机基础

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四旋翼无人机的动力学模型

基本假设：

四旋翼飞行器是均匀对称的刚体
四旋翼飞行器的质量和转动惯量不发生改变
四旋翼飞行器的几何中心与其重心重合
四旋翼飞行器只受重力和螺旋桨拉力

牛顿–欧拉方程 : : 刚体运动 = 质心的平动 + 绕质心的转动

质心的平动 : $F = m \frac{dv}{dt}$

绕质心的转动 : $M = J \dot\omega + \omega \times J\omega$

“x"表示的是矩阵乘法（即叉乘）

位置动力学模型 (合外力和速度的方程)

旋转矩阵 可以将机体坐标系( $O_bY_bZ_b$ )下表示的向量转变到地面坐标系( $O_eY_eZ_e$ )下表示:

$$ R^e_b = \left[ \begin{matrix} \cos\theta\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\sin\phi - \sin\psi\cos\phi & \cos\psi\sin\theta\cos\phi + \sin\psi\sin\phi \\\ \cos\theta\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\sin\phi + \cos\psi\cos\phi & \sin\psi\sin\theta\cos\phi - \cos\psi\sin\phi \\\ -\sin\theta & \sin\phi\cos\theta & \cos\phi\cos\theta \end{matrix} \right] $$

根据牛顿第二定律整理得：

$$ \dot v^e = g^e + R^e_b \cdot \frac{T^b}{m} $$

即：

$$ \begin{cases} \dot v_x = -\frac{f}{m}(\cos\psi\sin\theta\cos\phi + \sin\psi\sin\phi) \\\ \dot v_y = -\frac{f}{m}(\sin\psi\sin\theta\cos\phi - \cos\psi\sin\theta) \\\ \dot v_z = g - \frac{f}{m}\cos\phi\cos\theta \end{cases} $$

姿态动力学模型 (合力矩和角速度的方程)

由欧拉方程知：

$$ J\dot\omega^b + \omega^b \times J\omega^b = G^b_a + \tau^b $$

$$ \omega^b = \left[\begin{matrix}\omega_{xb} & \omega_{yb} & \omega_{zb}\end{matrix} \right]^T $$

式中， $\omega^b$ 表示在机体坐标系下的角速度； $G_a$ 表示陀螺力矩； $\tau$ 表示螺旋桨在机体轴上产生的力矩，包括绕 $O_bX_b$ 轴的滚转力矩 $\tau_x$ 、绕 $O_bY_b$ 轴的俯仰力矩 $\tau_y$ 以及绕 $O_bZ_b$ 轴的偏航力矩 $\tau_z$ 。

陀螺力矩Ga: 当电机高速旋转的时候，相当于一个陀螺。高速旋转的陀螺是非常稳定的个体，具有保持自身轴向不变的能力。

$$ G_a = \left[ \begin{matrix} G_{a,\phi} \\\ G_{a, \theta} \\\ G_{a,\psi} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} J_1q(\overline\omega_1 - \overline\omega_2 + \overline\omega_3 - \overline\omega_4) \\\ J_1p(-\overline\omega_1 + \overline\omega_2 - \overline\omega_3 + \overline\omega_4) \\\ 0 \end{matrix} \right] $$

式中， $J_1$ 表示整个电机转子和螺旋桨绕机体转轴的总转动惯量； $\overline\omega_i$ 表示螺旋桨 1,2,3,4 的转速。

由于假设四旋翼飞行器是均匀对称的刚体,所以 惯性矩阵J 可表示为:

$$ J = \left[ \begin{matrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} I_{xx} & & \\\ & I_{yy} & \\\ & & I_{zz} \end{matrix} \right] $$

所以上式可化为:

$$ \begin{cases} \dot p = \dot\omega_{xb} = \frac{1}{I_{xx}}\left[\tau_x + qr(I_{yy} - I_{zz}) - J_{RP} q \cdot \Omega\right] \\\ \dot q = \dot\omega_{yb} = \frac{1}{I_{yy}}\left[\tau_y + pr(I_{zz} - I_{xx}) + J_{RP} p \cdot\Omega\right] \\\ \dot r = \dot\omega_{zb} =\frac{1}{I{zz}}\left[\tau_z + pq(I_{xx} - I_{yy})\right] \end{cases} $$

式中， $\Omega = -\overline\omega_1 + \overline\omega_2 - \overline\omega_3 + \overline\omega_4$

四旋翼飞行器的运动学模型

输入 ->[速度和角速度] 输出 ->[位置和姿态]

位置：

$$ \dot p^e = v^e $$

姿态：

$$ \left[ \begin{matrix} \dot\phi \\\ \dot\theta \\\ \dot\psi \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & \tan\theta\sin\phi & \tan\theta\cos\phi \\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\\ 0 & \frac{\sin\phi}{\cos\theta} & \frac{\cos\phi}{\cos\theta} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} p \\\ q \\\ r \end{matrix} \right] $$

无人机姿态

Pich,俯仰

Roll，横滚

Yaw，航向（偏航）

共轴双桨旋翼无人机基础

共轴双桨旋翼无人机的飞行原理类似于常见的直升机。但是共轴双桨无人机取消了直升机的尾桨，而使用两个直径相同共轴布局的螺旋桨，利用两个共轴螺旋桨反向旋转来抵消扭矩，再通过倾斜盘作为变距机构，从而控制飞行器的俯仰和横滚自由度。

该类型飞行器的优点：

没有尾桨的功率损耗，具有更高的悬停效率，根据莫卡夫设计局的研究资料，共轴双旋翼直升机的悬停效率要比单旋翼带尾桨的直升机高出17%~30%。
由于没有尾桨，可以将机身做的很短，因此其结构重量和载荷均集中在重心处，从而减少了直升机俯仰和偏航的转动惯量，计有较高的加速特性。

该类飞行器的缺点：

机械机构相对复杂，制造成本和可维护性上不如多旋翼飞行器
飞行模态相对多旋翼复杂一些，在飞控设计方面有一定的挑战性

共轴双桨旋翼无人机基本操纵原理

共轴旋翼无人机在空中有6个自由度，分别为：

沿X轴的纵向移动、绕X轴的横滚
沿Y轴的横向移动、绕Z轴的偏航
沿Z轴的垂直移动、绕Y轴的俯仰

其主要操纵原理如下：

通过总距操纵调节上下旋翼的总距，从而改变旋翼拉力的大小，操纵无人机的垂直运动。
通过周期变距操纵使倾斜盘沿不同的方向倾斜，从而改变旋翼拉力的方向，操纵无人机的横向运动和纵向运动。
通过航向操纵改变上下旋翼的扭矩差使无人机的航向改变来操纵航向运动。

关于相机的内参

相机内参的作用就是把坐标从相机坐标系转换到像素坐标系

设 $O - x - y - z$ 为相机坐标系，习惯上我们把 $z$ 轴指向相机前方， $x$ 向右， $y$ 向下。 $O$ 为摄像机的光心，也就是针孔模型中的针孔。 P 为真实世界中的一点，在相机坐标系中坐标为 $[X, Y, Z]^T$，成像点**P’**的坐标为 $[X’, Y’, Z’]^T$ ，焦距（物理成像平面和光心的距离）为 $f$ 。

根据相似三角形可知： $$ X’ = f \frac{X} {Z} \ Y’ = f \frac{Y} {Z} $$ 设 $O’ - u - v$ 是像素坐标系，原点 $o’$ 位于图像左上角， $u$ 轴向右与 $x$ 轴平行， $v$ 轴向下与 $y$ 轴平行。像素坐标在 $u$ 轴上缩 $\alpha$ 放倍，在v轴上缩放了 $\beta$ 倍，原点平移了 $[c_x, c_y]^T$ 。**P’**在像素平面坐标系上的坐标是 $[u, v]^T$ 。

则可以得到P‘与像素坐标系的关系为： $$ u = \alpha X’ + c_x \ v = \beta Y’ + c_y $$ 进而得到P与**P’**的关系： $$ u = \alpha f \frac{X} {Z} + c_x = f_x \frac{X} {Z} + c_x $$

$$ v = \beta f \frac{Y} {Z} + c_y = f_y \frac{Y} {Z} + c_y $$

转换为矩阵形式： $$ Z \left( \begin{matrix} u \\\ v \\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} f_x & 0 & c_x \\\ 0 & f_y & c_y \\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} X \\\ Y \\\ Z \end{matrix} \right) =KP $$ 其中，K为相机的内参矩阵。

相机外参的作用是把坐标从世界坐标系转换到相机坐标系中

最右边那个矩阵就是相机的外参矩阵。

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